manim边做边学--参数化曲线
在数学可视化领域，参数方程提供了一种灵活描述曲线的方式。
Manim库中的ParametricFunction类正是为此而生，它允许用户通过参数方程创建各种复杂的二维和三维曲线。
ParametricFunction的核心作用是将数学参数方程转换为可视化的曲线。与普通函数不同，参数方程使用独立参数t表示曲线上点的坐标：
x = f(t)
y = g(t)
z = h(t)
其典型应用场景包括：
- 绘制无法用$ y=f(x) $显式表示的曲线（如圆、椭圆）
- 创建随时间变化的动态轨迹
- 可视化三维空间曲线（如螺旋线）
- 实现复杂的几何图案（如心形线、星形线）
本文将详细介绍ParametricFunction的作用、主要参数和方法，并通过动画示例来展示其强大的功能。
1. 主要参数
ParametricFunction主要参数有：
| 参数 | 类型 | 说明 | 默认值 |
|---|---|---|---|
function | Callable | 参数方程函数，接收t返回[x,y,z] | 必填 |
t_range | Sequence[float] | 参数范围[start, end, step] | [0,1,0.1] |
dt | float | 计算导数的微小增量 | 0.01 |
use_smoothing | bool | 是否使用平滑算法 | True |
discontinuities | list[float] | 函数不连续点列表 | None |
color | 颜色常量 | 曲线颜色 | WHITE |
stroke_width | float | 线宽 | 2.0 |
其中function参数是一个可调用的函数，形式为(lambda t: (x(t), y(t), z(t)))。
它定义了曲线的参数化形式，t是参数，x(t)、y(t)和z(t)分别是x、y和z坐标随参数t的变化函数。
2. 主要方法
ParametricFunction主要方法包括：
| 名称 | 说明 |
|---|---|
| get_point_from_function | 获取参数t对应的曲线点坐标 |
| get_function | 返回参数方程函数 |
| get_t_range | 返回参数范围 |
3. 使用示例
下面通过几个典型的例子来演示如何使用ParametricFunction类。
3.1. 三维螺旋线
这个示例通过引入z轴参数，我们创建了一个优美的三维螺旋结构，展示ParametricFunction处理3D曲线的能力。
self.set_camera_orientation(phi=80 * DEGREES, theta=-60 * DEGREES)
curve = ParametricFunction(
lambda u: (1.2 * np.cos(u), 1.2 * np.sin(u), u * 0.05),
color=RED,
t_range=(-3 * TAU, 5 * TAU, 0.01),
).set_shade_in_3d(True)
axes = ThreeDAxes(x_length=6, y_length=5, z_length=4)
self.add(axes, curve)
self.play(Create(curve))
3.2. 处理不连续函数
这个示例展示了如何处理不连续函数。
通过指定discontinuities参数，可以正确地绘制不连续函数的图形，这对于展示数学函数的不连续点非常有用。
# 定义不连续函数
def discontinuous_func(t):
if t in [-2, 2]:
return (t, 0, 0) # 在不连续点返回一个默认值
return (t, (t**2 - 2) / (t**2 - 4), 0)
# 创建 ParametricFunction 对象
func = (
ParametricFunction(
discontinuous_func,
t_range=(-3, 3),
discontinuities=[-2, 2], # 指定不连续点
dt=0.1, # 不连续点的容差
color=GREEN,
)
.scale(0.5)
.shift(DOWN)
)
# 添加到场景中
self.play(Create(func))
3.3. 跳动的心形线
这个浪漫的示例展示了如何创建复杂的心形图案，并通过缩放动画赋予其"跳动"效果。
# 心形线参数方程
heart = (
ParametricFunction(
lambda t: np.array(
[
16 * np.sin(t) ** 3,
13 * np.cos(t)
- 5 * np.cos(2 * t)
- 2 * np.cos(3 * t)
- np.cos(4 * t),
0,
]
),
t_range=[0, TAU, 0.01],
color=PINK,
)
.scale(0.1)
.shift(UP * 2)
)
self.play(Create(heart, run_time=2))
self.play(heart.animate.scale(1.2), rate_func=there_and_back)
self.play(heart.animate.scale(1.5), rate_func=there_and_back)
self.play(heart.animate.scale(1.2), rate_func=there_and_back)
4. 附件
文中的代码只是关键部分的截取，完整的代码共享在网盘中（parametric_function.py），
下载地址: 完整代码 (访问密码: 6872)